「n次方和公式」，也被稱為N次方和公式展開定理，是數(shù)學(xué)中一個重要的公式，用于求解一個數(shù)的n次方和。

公式表達如下：

1^k + 2^k + 3^k + ... + n^k = (n^(k+1))/(k+1) + (n^k)/2 + (n^(k-1))/6 + ... + (n^2)/2 + n/2

其中，n為正整數(shù)，k為非負整數(shù)。

這個公式的推導(dǎo)可以通過數(shù)學(xué)歸納法進行證明。首先，我們可以驗證當(dāng)k=0時，公式成立。然后，假設(shè)當(dāng)k=m時，公式成立，即：

1^m + 2^m + 3^m + ... + n^m = (n^(m+1))/(m+1) + (n^m)/2 + (n^(m-1))/6 + ... + (n^2)/2 + n/2

接下來，我們來證明當(dāng)k=m+1時，公式也成立。我們可以將1^(m+1) + 2^(m+1) + 3^(m+1) + ... + n^(m+1)拆分為兩部分：

1^(m+1) + 2^(m+1) + 3^(m+1) + ... + n^(m+1) = (1^m + 2^m + 3^m + ... + n^m) + (1^(m+1) + 2^(m+1) + 3^(m+1) + ... + n^m)

根據(jù)歸納假設(shè)，我們可以將第一部分展開為：

(1^m + 2^m + 3^m + ... + n^m) = (n^(m+1))/(m+1) + (n^m)/2 + (n^(m-1))/6 + ... + (n^2)/2 + n/2

而第二部分可以通過公式 (n^(m+1))/(m+1) + (n^m)/2 + (n^(m-1))/6 + ... + (n^2)/2 + n/2 來展開。

將兩部分相加，我們得到：

1^(m+1) + 2^(m+1) + 3^(m+1) + ... + n^(m+1) = (n^(m+2))/(m+2) + (n^(m+1))/(m+1) + (n^m)/2 + (n^(m-1))/6 + ... + (n^2)/2 + n/2

因此，當(dāng)k=m+1時，公式也成立。

通過數(shù)學(xué)歸納法的證明，我們可以得出結(jié)論：「n次方和公式」成立。

這個公式在數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，特別是在求解數(shù)列、級數(shù)以及積分等問題時，可以簡化計算過程，提高效率。